Question

過(guò)點(diǎn)P(2，1)作直線l分別交x軸、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程.

Answer 1

解:設(shè)直線l的方程為＋＝1(a＞0，b＞0).

∵P(2，1)在直線l上，∴＋＝1.

于是·≤()²＝，

當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)上式等號(hào)成立，

即a=4，b=2時(shí)，·最大.

∴S_△AOB的最小值為ab＝4.

此時(shí)直線l的方程為＋＝1.

∴當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，直線l的方程為＋＝1,?即x＋2y－4=0.

點(diǎn)評(píng):(1)求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的問(wèn)題時(shí)，常把直線l的方程設(shè)成截距式＋=1，這樣三角形的面積就是|ab|.此例中，根據(jù)兩正數(shù)、的和是常數(shù)的特點(diǎn)，利用基本不等式，求得了積的最大值，也就是面積的最小值，再由取得最值的條件得出a、b的值，進(jìn)而求得l的方程.

(2)本題還可設(shè)l的方程為y－1=k(x－2)(k＜0).