Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1+a_n=3•2^n-1（n≥2）．
（1）求a₂，a₃；
（2）求a_n的通項公式；
（3）對于n∈N^*有 ＜=2（-），證明：++…+＜（n≥1）

Answer 1

（1）解：∵a₁=1，a_n+1+a_n=3•2^n-1（n≥2），∴a₂=2，a₃=4，
（2）解：由（1）猜想a_n=2^n-1；
證明如下：當n=1時，成立
假設當n=k時，成立，即a_k=2^k-1，
∵a_n+1+a_n=3•2^n-1，∴a_k+1=a_k+3•2^k-1=2^k，
∴n=k+1時，結論成立
綜上，a_n=2^n-1；
（3）證明：∵2ⁿ⁺¹＞2ⁿ⁺¹-1，∴＞1，
∴＜=2（-），
∴++…+＜2（-+…+-）
＜1+2（）+…+2（-）=1+-＜
分析：（1）利用a₁=1，a_n+1+a_n=3•2^n-1（n≥2），代入計算，可得a₂，a₃；
（2）先猜想，再利用數(shù)學歸納法進行證明；
（3）先證明＞1，可得＜=2（-），再利用放縮法可得結論．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題能力，屬于中檔題．