Question

13．已知知F₁，F(xiàn)₂是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{3}$，橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁、e₂，則$\frac{1}{{{e_1}^2}}+\frac{3}{{{e_2}^2}}$=4．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1，$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}$=1（a_i，b_i＞0，a₁＞b₁，i=1，2），a₁²-b₁²=a₂²+b₂²=c²，c＞0．設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．可得m+n=2a₁，n-m=2a₂，∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：（2c）²=m²+n²-2mncos$\frac{π}{3}$，化簡(jiǎn)整理由離心率公式即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：
$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1，$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}$=1（a_i，b_i＞0，a₁＞b₁，i=1，2），
a₁²-b₁²=a₂²+b₂²=c²，c＞0．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．
則m+n=2a₁，n-m=2a₂，
解得m=a₁-a₂，n=a₁+a₂，
由∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，在△PF₁F₂中，
由余弦定理可得：（2c）²=m²+n²-2mncos$\frac{π}{3}$，
∴4c²=（a₁-a₂）2+（a₁+a₂）2-（a₁-a₂）（a₁+a₂），
化為4c²=a₁²+3a₂²，
化為$\frac{1}{{{e_1}^2}}+\frac{3}{{{e_2}^2}}$=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．