Question

1．將一塊邊長為6cm的正方形紙片，先按如圖1所示的陰影部分截去四個全等的等腰三角形，然后將剩余部分沿虛線折疊并拼成一個正四棱錐模型（底面是正方形，從頂點向底面作垂線，垂足是底面中心的四棱錐），將該四棱錐如圖2放置，若其正視圖為正三角形，則其體積為$\frac{8\sqrt{6}}{3}$cm³．

Answer 1

分析 根據(jù)圖形正四棱錐的正視圖是正三角形，正視圖的底面邊長為a，高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，正四棱錐的斜高為a，運用圖1得出$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=a+$\frac{a}{2}$，a=2$\sqrt{2}$，計算出a，代入公式即可．

解答 解：

∵正四棱錐的正視圖是正三角形，正視圖的底面邊長為a，高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴正四棱錐的斜高為a，
∵圖1得出：∵將一張邊長為6cm的紙片按如圖1所示的陰影部分截去四個全等的等腰三角形
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=a+$\frac{a}{2}$，a=2$\sqrt{2}$
∴正四棱錐的體積是$\frac{1}{3}$a²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$cm³，
故答案為$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題綜合考查了空間幾何體的性質(zhì)，展開圖與立體圖的結(jié)合，需要很好的空間思維能力，屬于中檔題．