Question

設正項數列的前項和為，向量，（）滿足．

(1)求數列的通項公式；

(2)設數列的通項公式為（），若，，（）成等差數列，求和的值；

(3)．如果等比數列滿足，公比滿足，且對任意正整數，仍是該數列中的某一項，求公比的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由可以得到，即，利用，可得，即是以1為首項，2為公差的等差數列，從而求得通項公式；

（2）由是等差數列可得，即，整理得，根據m,t是正整數，所以t-1只可能是1,2,4，從而解得；

（3）易知，因為仍是該數列中的某一項，所以是該數列中的某一項，又是q的幾次方的形式，所以也是q的幾次方的形式，而，所以，所 以只有可能是q，，所以，所以．

（1）∵，∴，∴①

當n=1，有，是正項數列，∴

當，有②，

①-②，得，，∴，

∴數列以，公差為2的等差數列，；

（2）易知，∵是等差數列，

即，∴，整理得，

∵m,t是正整數，所以t只可能是2,3,5，∴；

易知，∵仍是該數列中的某一項，記為第t項，∴，即，∵，∴，

，又∵，∴只有t-k=1，即，解得

考點：1、數列的通項公式；2、數列綜合．