Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$．求過點(diǎn)P（2，4）的函數(shù)f（x）的切線方程．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到過切點(diǎn)的切線方程，再把P點(diǎn)坐標(biāo)代入求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入切線方程得答案．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$，得f′（x）=x²，
設(shè)切點(diǎn)為（${x}_{0}，\frac{1}{3}{{x}_{0}}^{3}+\frac{4}{3}$），則f′（x₀）=${{x}_{0}}^{2}$，
∴過切點(diǎn)的切線方程為$y-\frac{1}{3}{{x}_{0}}^{3}-\frac{4}{3}={{x}_{0}}^{2}（x-{x}_{0}）$，
把P（2，4）代入得：$4-\frac{1}{3}{{x}_{0}}^{3}-\frac{4}{3}=2{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{3}$，
整理得：${{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}+4=0$，即${{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{2}-4（{{x}_{0}}^{2}-1）=0$，
∴（x₀+1）$（{x}_{0}-2）^{2}=0$，解得：x₀=-1或x₀=2．
當(dāng)x₀=-1時(shí)，切線方程為x-y+2=0；當(dāng)x₀=2時(shí)，切線方程為4x-y-4=0．
∴切線方程為：x-y+2=0，4x-y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過某點(diǎn)的切線方程，關(guān)鍵是注意過某點(diǎn)和在某點(diǎn)處的區(qū)別，是中檔題．