Question

11．在數(shù)列{a_n}中，${S_n}=\frac{2}{n+1}$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{S_n}{n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，由此求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）利用裂項(xiàng)相消求和法進(jìn)行解答．

解答 解：（1）∵在數(shù)列{a_n}中，${S_n}=\frac{2}{n+1}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2}{n+1}$-$\frac{2}{n}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$．
綜上所述，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1（n=1）}\\{-\frac{2}{n（n+2）}（n≥2）}\end{array}\right.$；
（2）∵${S_n}=\frac{2}{n+1}$，${b_n}=\frac{S_n}{n}$，
∴${b_n}=\frac{S_n}{n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．（n∈Z⁺）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解，利用裂項(xiàng)相消求和法是解決（2）題的關(guān)鍵．