Question

（本小題滿分14分）已知圓經(jīng)過第一象限，與軸相切于點(diǎn)，且圓上的點(diǎn)到軸的最大距離為2，過點(diǎn)作直線．

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線與圓相切時，求直線的方程；

（3）當(dāng)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且滿足向量，時，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）； （2）或；（3）·

【解析】

試題分析：（1）依題意圓經(jīng)過第一象限，且與軸相切于點(diǎn)，故圓M的圓心在的正半軸，而圓上的點(diǎn)到軸的最大距離為2，∴圓M的半徑為2，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為； （2）直線過點(diǎn)，且與圓相切，當(dāng)的斜率不存在時，直線的方程為，當(dāng)的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由圓心到直線的距離等于半徑得，從而，直線的方程為 ；（3）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與圓的方程得，得，且，，由向量得，消去、得，從而，由弦長公式得且，故.

試題解析：（1）因為圓經(jīng)過第一象限，與軸相切于點(diǎn)，得知圓的圓心在的正半軸上； 1分

由圓上的點(diǎn)到軸的最大距離為2，得知圓的圓心為，，半徑為2． 2分

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 4分

（2）若直線的斜率存在，設(shè)的斜率為，則直線的方程為，

因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑得，解得，直線的方程：；

若直線的斜率不存在，由直線與圓相切得直線的方程： 6分

所以，直線的方程為或． 8分

（3）由直線與圓相交于、兩點(diǎn)知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，點(diǎn)、，則直線的方程為，

由得，

即，，，

由向量，得，

由，，消去、得，

即，，化簡得． 11分

且，即． 13分

所以的取值范圍是． 14分

考點(diǎn)：直線和圓的位置關(guān)系