Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S₄=16，S₆=36，
（1）求a_n；
（2）設(shè)λ為實數(shù)，對任意正整數(shù)m，n，不等式S_m+S_n＞λ•S_m+n恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)c_n=f（2ⁿ⁺²+4）（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由S₄=16，S₆=36，
得，…（2分）
解得，…（4分）
∴a_n=2n-1…（5分）
（2）由a_n=2n-1，
得S_n=n²，
S_m+S_n＞λ•S_m+n，
即m²+n²＞λ（m+n）²對任意正整數(shù)m，n恒成立，
∴對任意正整數(shù)m，n恒成立，…（7分）
而（m=n時取等號）…（9分）
∴…（10分）
（3）由題意得：
…（13分）
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）+n
=2ⁿ⁺²-4+n．…（15分）
分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由S₄=16，S₆=36，知，由此能求出a_n．
（2）由a_n=2n-1，得S_n=n²，由m²+n²＞λ（m+n）²對任意正整數(shù)m，n恒成立，知對任意正整數(shù)m，n恒成立，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．
（3）由題意得，由此能求出T_n．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，求實數(shù)λ的取值范圍和求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．