Question

設(shè)0＜a＜c，0＜b＜c，試證明不等式：

a2+b2

+

(c-a)2+b2

+

a2+(c-b)2

+

(c-a)2+(c-b)2

≥2

2

c．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：將邊長(zhǎng)為c的正方形分成邊長(zhǎng)為a，c-a，b，c-b的不同矩形，利用勾股定理，結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短，即可證明結(jié)論．

解答： 證明：如圖所示，將邊長(zhǎng)為c的正方形分成邊長(zhǎng)為a，c-a，b，c-b的不同矩形，
則AE=

a2+b2

，CE=

(c-a)2+(c-b)2

，BE=

a2+(c-b)2

，DE=

(c-a)2+b2

，
由于兩點(diǎn)之間線段最短，得出AE+BE+CE+DE≥2

2

AC，
∴

a2+b2

+

(c-a)2+b2

+

a2+(c-b)2

+

(c-a)2+(c-b)2

≥2

2

c．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查勾股定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確構(gòu)造圖形是關(guān)鍵．