Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=

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BB₁，D是BB₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面ADC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）設(shè)BC=

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，求幾何體A₁B₁DCC₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：組合幾何體的面積、體積問題,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明DA₁⊥面DAC，可得平面ADC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）幾何體A₁B₁DCC₁的體積等于三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積減去四棱錐C-ABDA₁的體積．

解答： （Ⅰ）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，∴CA⊥面AA₁B₁B，∴CA⊥DA₁，
又∵BA=AC=

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BB1，D是BB1的中點(diǎn)，∴DA⊥DA₁，
∵CA∩DA=A，
∴DA₁⊥面DAC，
∵DA₁?平面A₁DC，
∴平面ADC⊥平面A₁DC．
（Ⅱ）解：幾何體A₁B₁DCC₁的體積等于三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積減去四棱錐C-ABDA₁的體積，
∵BC=

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，∠BAC=90°，AB=AC=

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BB₁，
∴AB=AC=1，BB₁=2
∵VABC-A1B1C1=S△ABCh=1，VC-ABDA1=

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2

，
∴幾何體A₁B₁DCC₁的體積等于

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2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查幾何體體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．