Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

在區(qū)間[1，e]上的最小值為0，則a_max=

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求導(dǎo)數(shù)，可得函數(shù)f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，從而f′（x）≥0恒成立，故x²+（2-2a）x+1≥0在區(qū)間[1，e]上恒成立，分離參數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)數(shù)f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

的定義域為（0，+∞），f′（x）=

x2+(2-2a)x+1

x(x+1)2

，
∵函數(shù)f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

在區(qū)間[1，e]上的最小值為0，f（1）=0，
∴函數(shù)f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0恒成立，
∴x²+（2-2a）x+1≥0在區(qū)間[1，e]上恒成立，
∴2-2a≥-（x+

1

x

）
∴2-2a≥-2，
∴a≤2，
∴a_max=2
故答案為：2．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．