Question

已知等比數列的前項和．設公差不為零的等差數列滿足：，且成等比．
(Ⅰ) 求及；
(Ⅱ) 設數列的前項和為．求使的最小正整數的值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）9.

試題分析：（Ⅰ）本小題可以通過可以求得數列的通項公式，然后再求得等差數列的首項和公差，然后求得；（Ⅱ）首先分析新數列的通項公式，得，可知其為等差數列，對其求和可得，然后將其代入到不等式中得到關于的不等式，考慮到，可得的最小值為9.
試題解析：(Ⅰ) 當n＝1時，a₁＝S₁＝2－a．
當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2^n－1．
所以1＝2－a，得a＝1，
所以a_n＝2^n－1．
設數列{b_n}的公差為d，由b₁＝3，(b₄＋5)²＝(b₂＋5)(b₈＋5)，得 (8＋3d)²＝(8＋d)(8＋7d)，
故d＝0 (舍去) 或  d＝8．
所以a＝1，b_n＝8n－5，n∈N*．      7分
(Ⅱ) 由a_n＝2^n－1，知a_n＝2(n－1)．
所以T_n＝n(n－1)．
由b_n＝8n－5，T_n＞b_n，得n²－9n＋5＞0，
因為n∈N*，所以n≥9．
所以，所求的n的最小值為9．    14分