Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且對任意正整數(shù)n，點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，則說明理由．
（Ⅲ）已知數(shù)列{b_n}，，b_n的前n項和為T_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可得：2a_n+1 +S_n-2=0，n≥2時，2a_n-1+s_n-1-2=0，相減化簡得=（n≥2），可得
{a_n}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，由此求出通項公式．
（Ⅱ）利用等比數(shù)列求和公式求出 S_n ，分析可得欲使 {}成等差數(shù)列，只須λ-2=0，由此得出結(jié)論．
（Ⅲ）化簡  等于 （ -），由此求得T_n =-．再由 y=，在[1，+∞）上為增函數(shù)，可得 ≤＜1，從而得 ≤-＜1-，由此證得結(jié)論成立．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得：2a_n+1 +S_n-2=0，①
n≥2時，2a_n-1+s_n-1-2=0．     ②
①─②得 2a_n+1 -a_n =0，故=（n≥2）．
再由a₁=1，可得a₂=．
∴{a_n}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，
∴a_n=．  …（4分）
（Ⅱ）∵S_n ==2-，
∴=2-+λn+=2+λn+（ λ-2）． 
欲使 {}成等差數(shù)列，只須λ-2=0，即λ=2便可．
故存在實數(shù)λ=2，使得數(shù)列{}成等差數(shù)列．…（9分）
（Ⅲ）∵==（ -）．
∴T_n == 
=（）+（）+（）+…+（）
==-．
又函數(shù) y==在[1，+∞）上為增函數(shù)，可得 ≤＜1，
∴≤-＜1-，即≤＜，即． …（14分）
點評：本題主要考查等差關(guān)系的確定，等比數(shù)列的通項公式，用裂項法進行數(shù)列求和，數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，屬于難題．