【題目】教材曾有介紹:圓上的點(diǎn)處的切線方程為.我們將其結(jié)論推廣:橢圓()上的點(diǎn)處的切線方程為,在解本題時(shí)可以直接應(yīng)用.已知,直線與橢圓:()有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)橢圓上的兩點(diǎn)、分別作該橢圓的兩條切線、,且與交于點(diǎn).當(dāng)變化時(shí),求面積的最大值;
(3)若是橢圓上不同的兩點(diǎn),軸,圓過(guò)且橢圓上任意一點(diǎn)都不在圓內(nèi),則稱圓為該橢圓的一個(gè)內(nèi)切圓.試問(wèn):橢圓是否存在過(guò)左焦點(diǎn)的內(nèi)切圓?若存在,求出圓心的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,
【解析】
(1)將直線代入橢圓方程,得到的方程,由直線和橢圓相切的條件:判別式為0,解方程可得的值;
(2)設(shè)切點(diǎn),可得切線,再由代入上式,結(jié)合兩點(diǎn)確定一條直線,可得切點(diǎn)弦方程,即有的斜率,結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式,由①可得的方程為,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和直線與橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式,求得的面積,化簡(jiǎn)整理,運(yùn)用基本不等式即可得到所求最大值;
(3)依題意可得符合要求的圓,即為過(guò)點(diǎn)的三角形的外接圓.所以圓心在軸上.根據(jù)題意寫出圓的方程.由于圓的存在必須要符合,橢圓上的點(diǎn)到圓距離的最小值是,結(jié)合圖形可得圓心在線段上,半徑最小.又由于點(diǎn)已知,即可求得結(jié)論.
解:(1)將直線代入橢圓方程,
可得,
由直線和橢圓相切,可得
,
解得(由),
即有橢圓的方程為;
(2)設(shè)切點(diǎn),
可得切線,
由與交于點(diǎn),可得
,
由兩點(diǎn)確定一條直線,可得的方程為,
即為,
原點(diǎn)到直線的距離為,
由消去,可得,
,
可得,
可得的面積,
設(shè),,
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),取得最大值;
(3)橢圓的對(duì)稱性,可以設(shè),點(diǎn)在軸上,設(shè)點(diǎn),
則圓的方程為:,
由內(nèi)切圓定義知道,橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值是,
設(shè)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn),
則,
當(dāng)時(shí),最小,,①,
又圓過(guò)點(diǎn),,②
點(diǎn)在橢圓上,,③
由①②③,解得:或,
又時(shí),,不合題意,
綜上:橢圓存在符合條件的內(nèi)切圓,點(diǎn)的坐標(biāo)是.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍;
(2)若,證明:.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知F是拋物線C:的焦點(diǎn),過(guò)E(﹣l,0)的直線與拋物線分別交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A,B在x軸的上方).
(1)設(shè)直線AF,BF的斜率分別為,,證明:;
(2)若ABF的面積為4,求直線的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),是雙曲線的焦點(diǎn),M是的平分線上一點(diǎn),且,某同學(xué)用以下方法研究:延長(zhǎng)交于點(diǎn)N,可知為等腰三角形,且M為的中點(diǎn),得,類似地:點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),橢圓的焦點(diǎn),M是的平分線上一點(diǎn),且則的取值范圍是______
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某隧道的剖面圖是由半圓及矩形組成,交通部門擬在隧道頂部安裝通風(fēng)設(shè)備(視作點(diǎn)),為了固定該設(shè)備,計(jì)劃除從隧道最高點(diǎn)處使用鋼管垂直向下吊裝以外,再在兩側(cè)自兩點(diǎn)分別使用鋼管支撐.已知道路寬,設(shè)備要求安裝在半圓內(nèi)部,所使用的鋼管總長(zhǎng)度為.
(1)①設(shè),將表示為關(guān)于的函數(shù);
②設(shè),將表示為關(guān)于的函數(shù);
(2)請(qǐng)選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,說(shuō)明如何設(shè)計(jì),所用的鋼管材料最。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線斜率為,且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,是否存在點(diǎn),使得若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸)、一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過(guò)抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中a的值;
(Ⅱ)設(shè)該市有30萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說(shuō)明理由;
(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計(jì)的值,并說(shuō)明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,平面,,,是棱上的一點(diǎn).
(1)若平面,證明:;
(2)在(1)的條件下,棱上是否存在點(diǎn),使直線與平面所成角的大小為?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知下列命題:
①在線性回歸模型中,相關(guān)指數(shù)越接近于1,表示回歸效果越好;
②兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r就越接近于1;
③在回歸直線方程中,當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量平均減少0.5個(gè)單位;
④兩個(gè)模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好.
⑤回歸直線恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心,且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn);
⑥若的觀測(cè)值滿足≥6.635,我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺;
⑦從統(tǒng)計(jì)量中得知有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系,是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤. 其中正確命題的序號(hào)是__________.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com