【題目】已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）證明：在區(qū)間上存在唯一零點；

（Ⅲ）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）將代入求出切點坐標(biāo)，由題可得，將代入求出切線斜率，進而求出切線方程。

（Ⅱ）設(shè)，則，由導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性進，而得出答案。

（Ⅲ）題目等價于，易求得，利用單調(diào)性求出的最小值，列不等式求解。

（Ⅰ），所以，即切線的斜率，且，從而曲線在點處的切線方程為.

（Ⅱ）設(shè)，則.

當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

又，故在存在唯一零點.

所以在存在唯一零點.

（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為， 且的對稱軸所以 .

由(Ⅱ)知，在只有一個零點，設(shè)為，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

又，所以當(dāng)時，.

所以，即，因此，的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某健身機構(gòu)統(tǒng)計了去年該機構(gòu)所有消費者的消費金額（單位：元），如下圖所示：

（1）將去年的消費金額超過 3200 元的消費者稱為“健身達人”，現(xiàn)從所有“健身達人”中隨機抽取 2 人，求至少有 1 位消費者，其去年的消費金額超過 4000 元的概率；

（2）針對這些消費者，該健身機構(gòu)今年欲實施入會制，詳情如下表：

會員等級

消費金額

普通會員

2000

銀卡會員

2700

金卡會員

3200

預(yù)計去年消費金額在內(nèi)的消費者今年都將會申請辦理普通會員，消費金額在內(nèi)的消費者都將會申請辦理銀卡會員，消費金額在內(nèi)的消費者都將會申請辦理金卡會員. 消費者在申請辦理會員時，需-次性繳清相應(yīng)等級的消費金額.該健身機構(gòu)在今年底將針對這些消費者舉辦消費返利活動，現(xiàn)有如下兩種預(yù)設(shè)方案：

方案 1：按分層抽樣從普通會員， 銀卡會員， 金卡會員中總共抽取 25 位“幸運之星”給予獎勵: 普通會員中的“幸運之星”每人獎勵 500 元； 銀卡會員中的“幸運之星”每人獎勵 600 元； 金卡會員中的“幸運之星”每人獎勵 800 元.

方案 2：每位會員均可參加摸獎游戲，游戲規(guī)則如下：從-個裝有 3 個白球、 2 個紅球（球只有顏色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-個球.若摸到紅球的總數(shù)消費金額/元為 2，則可獲得 200 元獎勵金； 若摸到紅球的總數(shù)為 3，則可獲得 300 元獎勵金；其他情況不給予獎勵. 規(guī)定每位普通會員均可參加 1 次摸獎游戲；每位銀卡會員均可參加 2 次摸獎游戲；每位金卡會員均可參加 3 次摸獎游戲（每次摸獎的結(jié)果相互獨立） .

以方案 2 的獎勵金的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，請你預(yù)測哪-種方案投資較少？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的根，、，求的值；

（2）已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個根，、，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面，底面為正方形，，點為正方形內(nèi)部的一點，且，則直線與所成角的余弦值的取值范圍為( )

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）

A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線： .

（Ⅰ）求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若與相交于兩點，設(shè)點，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

若，求的單調(diào)區(qū)間；

是否存在實數(shù)a，使的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列有關(guān)命題的說法正確的是(　　)

A.命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”

B.“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件

C.命題“若x＝y，則sin x＝sin y”的逆否命題為真命題

D.命題“x0∈R使得”的否定是“x∈R，均有x2＋x＋1<0”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍．

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