Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．
（1）證明PC⊥AD；
（2）求二面角A-PC-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出DA⊥PA，AC⊥AD，從而DA⊥面PAC，由此能證明DA⊥PC．
（2）過A作AM⊥PC交PC于M，連接DM，則∠AMD為所求角，由此能求出二面角A-PC-D的正弦值．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，DA?平面ABCD
∴DA⊥PA，
又∵AC⊥AD，PA∩AC=A，
∴DA⊥面PAC，
又PC?面PAC，∴DA⊥PC．
（2）過A作AM⊥PC交PC于M，連接DM，則∠AMD為所求角，
在Rt△PAC中，AM=$\frac{2}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
在Rt△DAM中，DM=$\frac{{2\sqrt{30}}}{5}$，
在Rt△AMD中，sin∠AMD=$\frac{AD}{DM}=\frac{{\sqrt{30}}}{6}$．
∴二面角A-PC-D的正弦值為$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．