Question

18．三棱錐P-ABC，底面ABC為邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D為AP上一點(diǎn)，AD=2DP，O為底面三角形中心．
（Ⅰ）求證DO∥面PBC；
（Ⅱ）求證：BD⊥AC；
（Ⅲ）設(shè)M為PC中點(diǎn)，求平面MBD和平面BDO所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AO交BC于點(diǎn)E，連接PE，推導(dǎo)出DO∥PE，由此能證明DO∥面PBC．
（Ⅱ）推導(dǎo)出PE⊥BC，從而PE⊥平面ABC，進(jìn)而DO⊥平面ABC，由此得DO⊥AC，再由AC⊥BO，能證明AC⊥BD．
（Ⅲ）分別以EA，EB，EP所在直線(xiàn)為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M-BD-O的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連接AO交BC于點(diǎn)E，連接PE．
∵O為正三角形ABC的中心，∴AO=2OE，
且E為BC中點(diǎn)．又AD=2DP，
∴DO∥PE，
∵DO?平面PBC，PE?平面PBC
∴DO∥面PBC．（4分）
（Ⅱ）∵PB=PC，且E為BC中點(diǎn)，∴PE⊥BC，
又平面PBC⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，
由（Ⅰ）知，DO∥PE，
∴DO⊥平面ABC，
∴DO⊥AC
連接BO，則AC⊥BO，又DO∩BO=O，
∴AC⊥平面DOB，∴AC⊥BD．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA，EB，EP兩兩互相垂直，且E為BC中點(diǎn)，
所以分別以EA，EB，EP所在直線(xiàn)為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖，則A（3，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），
D（1，0，$\frac{2}{3}$），C（0，-$\sqrt{3}$，0），M（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（0，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（-1，$\sqrt{3}$，-$\frac{2}{3}$），
設(shè)平面BDM的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=-x+\sqrt{3}y-\frac{2}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，則$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，3$\sqrt{3}$），（10分）
由（Ⅱ）知AC⊥平面DBO，
∴$\overrightarrow{AC}$=（-3，-$\sqrt{3}$，0）為平面DBO的法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{31}•\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{31}}{31}$，
由圖可知，二面角M-BD-O的余弦值為$\frac{\sqrt{31}}{31}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的證明，考查異面直線(xiàn)垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．