Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²（2^x-2^-x），則不等式f（2x+1）+f（1）＜0的解集是（　　）

• A． $（{-∞，-\frac{1}{2}}）$
• B． （-∞，-1）
• C． $（{-\frac{1}{2}，+∞}）$
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）=x²（2^x-2^-x）為奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，則不等式f（2x+1）+f（1）＜0可以轉化為2x+1＜-1，解可得x的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對于函數(shù)f（x）=x²（2^x-2^-x），有f（-x）=（-x）²（2^-x-2^x）=-x²（2^x-2^-x）=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
函數(shù)f（x）=x²（2^x-2^-x），其導數(shù)f′（x）=x²（2^x-2^-x）+x²•ln2（2^x+2^-x）＞0，則f（x）為增函數(shù)；
不等式f（2x+1）+f（1）＜0⇒f（2x+1）＜-f（1）⇒f（2x+1）＜f（-1）⇒2x+1＜-1，
解可得x＜-1；
即f（2x+1）+f（1）＜0的解集是（-∞，-1）；
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合應用，注意轉化為函數(shù)的奇偶性與單調性的問題，不要直接解不等式．