Question

已知雙曲線x²-

y2

2

=1，經過點M（1，1）能否作一條直線l，使直線l與雙曲線交于A、B，且M是線段AB的中點，若存在這樣的直線l，求出它的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：先假設存在這樣的直線l，分斜率存在和斜率不存在設出直線l的方程，當k存在時，與雙曲線方程聯立，消去y，得到關于x的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個不同點，則△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

，M是線段AB的中點，則

x1+x2

2

=1，k=2 與k＜

3

2

矛盾，當k不存在時，直線經過點M但不滿足條件，故符合條件的直線l不存在

解答：解：設過點M（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1
（1）當k存在時有

y=k(x-1)+1 x2 - y2 2 =1

得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0    （1）
當直線與雙曲線相交于兩個不同點，則必有
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

   
又方程（1）的兩個不同的根是兩交點A、B的橫坐標
∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

    又M（1，1）為線段AB的中點
∴

x1+x2

2

=1   即

k-k2

2-k2

=1   k=2 
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當k=2時，方程（1）無實數解
故過點m（1，1）與雙曲線交于兩點A、B且M為線段AB中點的直線不存在．
（2）當x=1時，直線經過點M但不滿足條件，
綜上，符合條件的直線l不存在

點評：本題考察了直線與雙曲線的位置關系，特別是相交時的中點弦問題，解題時要特別注意韋達定理的重要應用，學會判斷直線與曲線位置關系的判斷方法