Question

15．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，且a₁+a₃=20，a₂=8
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求S_n．

Answer 1

分析 （I）等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，且a₁+a₃=20，a₂=8，可得${a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}$=20，a₁q=8，解得q，a₁即可得出．
（II）b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，利用“錯位相減法“與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，且a₁+a₃=20，a₂=8，
∴${a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}$=20，a₁q=8，∴2q²-5q+2=0，解得q=2，a₁=4．
∴a_n=2ⁿ⁺¹．
（II）b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{2}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$+$\frac{n}{{2}^{n+2}}$．
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n}{{2}^{n+2}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+2}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{2+n}{{2}^{n+2}}$．
∴S_n=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$．

點評 本題考查了“錯位相減法“、等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．