分析 根據(jù)f(x)為奇函數(shù),設(shè)x>0,得-x<0,可求出f(x)=e-x(x-1)判定①正確;
由f(x)解析式求出-1,1,0都是f(x)的零點(diǎn),判定②錯(cuò)誤;
由f(x)解析式求出f(x)>0的解集,判斷③正確;
分別對(duì)x<0和x>0時(shí)的f(x)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷f(x)的單調(diào)性,
根據(jù)單調(diào)性求f(x)的值域,可得?x1,x2∈R,有|f(x1)-f(x2)|<2,判定④正確.
解答 解:對(duì)于①,f(x)為R上的奇函數(shù),設(shè)x>0,則-x<0,
∴f(-x)=e-x(-x+1)=-f(x),∴f(x)=e-x(x-1),①正確;
對(duì)于②,∵f(-1)=0,f(1)=0,且f(0)=0,
∴f(x)有3個(gè)零點(diǎn),②錯(cuò)誤;
對(duì)于③,x<0時(shí),f(x)=ex(x+1),易得x<-1時(shí),f(x)<0;
x>0時(shí),f(x)=e-x(x-1),易得0<x<1時(shí),f(x)<0;
∴f(x)<0的解集為(-∞,-1)∪(0,1);③正確;
對(duì)于④,x<0時(shí),f′(x)=ex(x+2),得
x<-2時(shí),f′(x)<0,-2<x<0時(shí),f′(x)>0;
∴f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(-2,0)上單調(diào)遞增;
∴x=-2時(shí),f(x)取最小值-e-2,且x<-2時(shí),f(x)<0;
∴f(x)<f(0)=1;
即-e-2<f(x)<1;
x>0時(shí),f′(x)=e-x(2-x);
∴f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減;
x=2時(shí),f(x)取最大值e-2,且x>2時(shí),f(x)>0;
∴f(x)>f(0)=-1;
∴-1<f(x)≤e-2;
∴f(x)的值域?yàn)椋?1,e-2]∪[-e-2,1);
∴?x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2;④正確;
綜上,正確的命題是①③④.
故答案為①③④.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了奇函數(shù)的定義與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了函數(shù)的零點(diǎn)以及不等式的解集、根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)最值、求函數(shù)值域的方法,是綜合性題目.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 5立方丈 | B. | 6立方丈 | C. | 7立方丈 | D. | 9立方丈 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{{x}^{2}}{2}$-y2=1 | B. | x2-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1 | C. | x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1 | D. | $\frac{{x}^{2}}{3}$-y2=1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | i>1009? | B. | i<1009? | C. | i>2018? | D. | i<2018? |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | B. | C. | D. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $({\frac{1}{4},\frac{1}{3}})$ | B. | $({\frac{1}{6},\frac{1}{4}})$ | C. | $({16-6\sqrt{7},\frac{1}{6}})$ | D. | $({\frac{1}{6},8-2\sqrt{15}})$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | ±1 | B. | ±2 | C. | ±4 | D. | ±8 |
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