15.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ex(x+1),給出下列命題:
①當(dāng)x>0時(shí),f(x)=e-x(x-1);
②函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn);
③f(x)<0的解集為(-∞,-1)∪(0,1);
④?x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2.
其中正確的命題為①③④ (把所有正確命題的序號(hào)都填上).

分析 根據(jù)f(x)為奇函數(shù),設(shè)x>0,得-x<0,可求出f(x)=e-x(x-1)判定①正確;
由f(x)解析式求出-1,1,0都是f(x)的零點(diǎn),判定②錯(cuò)誤;
由f(x)解析式求出f(x)>0的解集,判斷③正確;
分別對(duì)x<0和x>0時(shí)的f(x)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷f(x)的單調(diào)性,
根據(jù)單調(diào)性求f(x)的值域,可得?x1,x2∈R,有|f(x1)-f(x2)|<2,判定④正確.

解答 解:對(duì)于①,f(x)為R上的奇函數(shù),設(shè)x>0,則-x<0,
∴f(-x)=e-x(-x+1)=-f(x),∴f(x)=e-x(x-1),①正確;
對(duì)于②,∵f(-1)=0,f(1)=0,且f(0)=0,
∴f(x)有3個(gè)零點(diǎn),②錯(cuò)誤;
對(duì)于③,x<0時(shí),f(x)=ex(x+1),易得x<-1時(shí),f(x)<0;
x>0時(shí),f(x)=e-x(x-1),易得0<x<1時(shí),f(x)<0;
∴f(x)<0的解集為(-∞,-1)∪(0,1);③正確;
對(duì)于④,x<0時(shí),f′(x)=ex(x+2),得
x<-2時(shí),f′(x)<0,-2<x<0時(shí),f′(x)>0;
∴f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(-2,0)上單調(diào)遞增;
∴x=-2時(shí),f(x)取最小值-e-2,且x<-2時(shí),f(x)<0;
∴f(x)<f(0)=1;
即-e-2<f(x)<1;
x>0時(shí),f′(x)=e-x(2-x);
∴f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減;
x=2時(shí),f(x)取最大值e-2,且x>2時(shí),f(x)>0;
∴f(x)>f(0)=-1;
∴-1<f(x)≤e-2;
∴f(x)的值域?yàn)椋?1,e-2]∪[-e-2,1);
∴?x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2;④正確;
綜上,正確的命題是①③④.
故答案為①③④.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了奇函數(shù)的定義與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了函數(shù)的零點(diǎn)以及不等式的解集、根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)最值、求函數(shù)值域的方法,是綜合性題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

5.《九章算術(shù)》卷第五《商功》中,有問(wèn)題“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無(wú)廣,高一丈.問(wèn)積幾何?”,意思是:“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w,下底面寬3丈,長(zhǎng)4丈;上棱長(zhǎng)2丈,無(wú)寬,高1丈(如圖).
問(wèn)它的體積是多少?”這個(gè)問(wèn)題的答案是(  )
A.5立方丈B.6立方丈C.7立方丈D.9立方丈

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

6.雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a,b>0)離心率為$\sqrt{3}$,左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),∠F1PF2的平分線為l,點(diǎn)F1關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,|F2Q|=2,則雙曲線方程為( 。
A.$\frac{{x}^{2}}{2}$-y2=1B.x2-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1C.x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1D.$\frac{{x}^{2}}{3}$-y2=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

3.給出計(jì)算$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2018}$的值的一個(gè)程序框圖如圖,其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是( 。
A.i>1009?B.i<1009?C.i>2018?D.i<2018?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

10.對(duì)于定義在[0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果同時(shí)滿(mǎn)足下列三條:
①對(duì)任意的x∈[0,+∞),總有f(x)≥0;
②若x1≥0,x2≥0,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立;
③若0≤x1<x2<1,則$\frac{{f({x_1}+1)-f({x_2}+1)}}{{{x_1}-{x_2}}}$>1.
則稱(chēng)函數(shù)f(x)為超級(jí)囧函數(shù),則下列是超級(jí)囧函數(shù)的為(3).
(1)f(x)=sinx
(2)g(x)=$\frac{1}{4}{x^2}$(x∈[0,1])
(3)h(x)=2x-1;
(4)p(x)=ln(x+1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

20.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{{{e^{sin({x-\frac{π}{2}})}}}}$(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),當(dāng)x∈[-π,π]時(shí),y=f(x)的圖象大致是(  )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

7.已知集合A={x|log2(x-1)<1},$B=\left\{{x|\frac{x+1}{x-3}<0}\right\}$,則“x∈A”是“x∈B”的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

4.定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+4)=f(x),f(x)=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+1,\;\;-1≤x≤1\\-|{x-2}|+1,\;1<x≤3\end{array}$.若關(guān)于x的方程f(x)-ax=0有5個(gè)不同實(shí)根,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A.$({\frac{1}{4},\frac{1}{3}})$B.$({\frac{1}{6},\frac{1}{4}})$C.$({16-6\sqrt{7},\frac{1}{6}})$D.$({\frac{1}{6},8-2\sqrt{15}})$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

5.若拋物線y2=ax的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2,則a=( 。
A.±1B.±2C.±4D.±8

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同步練習(xí)冊(cè)答案