Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+2（n-1）（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并分別寫出a_n和S_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：

1

5

≤T_n＜

1

4

；
（3）是否存在自然數(shù)n，使得S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=2011？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得到關(guān)于a_n與a_n-1的遞推式，據(jù)遞推式的特點(diǎn)可判斷數(shù)列為等差數(shù)列，從而可得答案；
（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求得T_n的表達(dá)式，由表達(dá)式的特點(diǎn)及其單調(diào)性可證；
（3）由（1）可表示出

Sn

n

，進(jìn)而求得S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²，令其等于2011，看關(guān)于正整數(shù)n的方程是否有解即可；

解答：（1）證明：由a_n=

Sn

n

+2（n-1），得S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*）．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），即a_n-a_n-1=4，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．
于是，a_n=4n-3，S_n═2n²-n（n∈N^*）．
（2）證明：∵

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，
∴T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

4

[（1-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+（

1

9

-

1

13

）+…+（

1

4n-3

-

1

4n+1

）]=

1

4

（1-

1

4n+1

）＜

1

4

，
又易知T_n單調(diào)遞增，
故T_n≥T₁=

1

a1a2

=

1

5

，
所以

1

5

≤T_n＜

1

4

．
（3）解：由S_n=na_n-2n（n-1），得

Sn

n

=a_n-2（n-1）=2n-1（n∈N^*），
∴S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）²
=n²-（n-1）²=2n-1．
令2n-1=2011，得n═1006，
即存在滿足條件的自然數(shù)n=1006．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推公式、等差數(shù)列的確定及數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列求和方法，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬難題，具有一定綜合性．