Question

橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，右頂點為A，P為橢圓C₁上任意一點，且

PF1

•

PF2

最大值的取值范圍是[c²，3c²]，其中c=

a2-b2

．
（1）求橢圓C₁的離心率e的取值范圍；
（2）設雙曲線C₂以橢圓C₁的焦點為頂點，頂點為焦點，B是雙曲線C₂在第一象限上任意一點，當e取得最小值時，試問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使得∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）利用數(shù)量積運算、橢圓的標準方程及其性質(zhì)即可得出；
（2）當e=

1

2

時，a=2c，b=

3

c，可得C2：

x2

c2

-

y2

3c2

=1，A（2c，0）．設B（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），代入雙曲線方程，當AB⊥x軸時，x₀=2c，y₀=3c，可得∠BF1A=

π

4

．故∠BAF1=

π

2

=2∠BF1A，猜想λ=2，使∠BAF₁=λ∠BF₁A總成立，當x₀≠2c時，利用斜率計算公式可得tan2∠BF1A=

2y0(x0+c)

(x0+c)2-3(x02-c2)

=

-y02

x0-2c

=tan∠BAF1，即可．

解答： 解：（1）設P（x，y），又F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∴

PF1

=(-c-x，-y)，

PF2

=(c-x，-y)∴

PF1

•

PF2

=x2+y2-c2，
又

x2

a2

+

y2

b2

=1得y2=b2-

b2x2

a2

，0≤x2≤a2，
∴

PF1

•

PF2

=(1-

b2

a2

)x2+b2-c2=

c2

a2

x2+b2-c2，
∴當x²=a²時，

PF1

•

PF2

取得最大值b²，
∴c²≤b²≤3c²，c²≤a²-c²≤3c²
∴

1

4

≤

c2

a2

≤

1

2

，即

1

4

≤e2≤

1

2

，
∴

1

2

≤e≤

2

2

．
（2）當e=

1

2

時，a=2c，b=

3

c，
∴C2：

x2

c2

-

y2

3c2

=1，A（2c，0）．
設B（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），則

x02

c2

-

y02

3c2

=1，
當AB⊥x軸時，x₀=2c，y₀=3c，
則tan∠BF1A=

3c

3c

=1，∴∠BF1A=

π

4

．
故∠BAF1=

π

2

=2∠BF1A，猜想λ=2，使∠BAF₁=λ∠BF₁A總成立，
當x₀≠2c時，tan∠BAF1=

-y0

x0-a

=

-y0

x0-2c

，tan∠BF1A=

y0

x0+c

∴tan2∠BF1A=

2tan∠BF1A

1-tan2∠BF1A

=

2y0 x0+c

1-( y0 x0+c )2

，
又y02=3c2(

x02

c2

-1)=3(x02-c2)
∴tan2∠BF₁A=

2y0(x0+c)

(x0+c)2-3( x 2 0 -c2)

=

-y0

x0-2c

=tan∠BAF₁，
又2∠BF₁A與∠BAF₁同在(0，

π

2

)∪(

π

2

，π)內(nèi)，
∴2∠BF₁A=∠BAF₁，
故存在λ=2，使∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立．

點評：本題考查圓錐曲線的基本知識，重點落腳在橢圓的性質(zhì)和運用上，了解雙曲線基本知識，然后利用研究圓錐曲線的思想和方法，通過類比的方式解決問題，將常用的創(chuàng)新思想：歸納、猜想、證明用于解題之中．學數(shù)學不僅僅是要會解數(shù)學題，更重要的是學會用數(shù)學的眼光看世界，用數(shù)學的方法解決問題，屬于難題．