【題目】已知橢圓的一個焦點為,離心率為. 點為圓上任意一點, 為坐標原點.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)記線段與橢圓交點為,求的取值范圍;

(Ⅲ)設直線經(jīng)過點且與橢圓相切, 與圓相交于另一點,點關(guān)于原點的對稱點為,試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】見解析

【解析】試題分析:(Ⅰ)由焦點及離心率求解方程組即可;

(Ⅱ)由,設,利用進行求解即可;

(Ⅲ)先討論PA直線斜率不存在和為0時的特殊情況,得相切的結(jié)論,再計算一般情況,設點,直線的斜率為,則,直線 ,進而得直線與橢圓聯(lián)立,通過計算判別式即可證得.

試題解析:

(Ⅰ)由題意,知 ,

所以, ,

所以橢圓的標準方程為.

(Ⅱ)由題意,得.

,則.

所以,

因為,

所以當時, ;當時, .

所以.

結(jié)論:直線與橢圓相切.

證明:由題意,點在圓上,且線段為圓的直徑,

所以.

當直線軸時,易得直線的方程為

由題意,得直線的方程為,

顯然直線與橢圓相切.

同理當直線軸時,直線也與橢圓相切.

當直線軸既不平行也不垂直時,

設點,直線的斜率為,則,直線的斜率

所以直線 ,直線

消去

.

因為直線與橢圓相切,

所以

整理,得. 1

同理,由直線與橢圓的方程聯(lián)立,

. 2

因為點為圓上任意一點,

所以,即.

代入(1)式,得

代入(2)式,得

.

所以此時直線與橢圓相切.

綜上,直線與橢圓相切.

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