Question

已知α，β∈(

π

2

，π)，且tanα+tan(β-

π

2

)＞0，則必有（　　）

• A、α+β＞

  3π

  2

• B、α+β＜

  3π

  2

• C、α+β=

  3π

  2

• D、α-β＞0

Answer 1

分析：把已知的不等式左邊利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，根據(jù)β的范圍得到tanβ小于0，不等式兩邊同時乘以tanβ，不等號方向改變，得到1-tanαtanβ的值小于0，又根據(jù)α的范圍得到tanα的值也小于0，進(jìn)而得到tanα+tanβ的值小于0，最后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式表示出tan（α+β），利用1-tanαtanβ及tanα+tanβ的符號判斷得到其值小于0，根據(jù)α+β的范圍，利用正切函數(shù)的圖象即可得到α+β的具體范圍．

解答：解：∵tanα+tan(β-

π

2

)=tanα-cotβ＞0，即tanα＞cotβ=

1

tanβ

，
又β∈(

π

2

，π)，∴tanβ＜0，
∴1-tanαtanβ＜0，又α∈(

π

2

，π)，得到tanα＜0，即tanα+tanβ＜0，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

＜0，又α+β∈（π，2π），
則必有α+β＞

3π

2

．
故選A

點評：此題考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及兩角和與差的正切函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，同時注意角度的范圍．