Question

2．某地一天的溫度（單位：℃）隨時間t（單位：小時）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f（t）=24-8sin（ωt+$\frac{π}{3}$），t∈[0，24），ω∈（0，$\frac{π}{8}$），且早上8時的溫度為24℃．
（1）求函數(shù)的解析式，并判斷這一天的最高溫度是多少？出現(xiàn)在何時？
（2）當(dāng)?shù)赜幸煌ㄏ鼱I業(yè)的超市，為了節(jié)省開支，規(guī)定在環(huán)境溫度超過28℃時，開啟中央空調(diào)降溫，否則關(guān)閉中央空調(diào)，問中央空調(diào)應(yīng)在何時開啟？何時關(guān)閉？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出ω的值，確定函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得出現(xiàn)最高溫時t的值；
（2）令f（t）=28，求出t的值即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（t）=24-8sin（ωt+$\frac{π}{3}$），
且早上8時的溫度為24℃，即f（8）=24，
∴sin（8ω+$\frac{π}{3}$）=0，
∴8ω+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得ω=$\frac{1}{8}$（k-$\frac{1}{3}$）π，k∈Z；
又ω∈（0，$\frac{π}{8}$），
∴k=1時，ω=$\frac{π}{12}$；
∴函數(shù)f（t）=24-8sin（$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$），t∈（0，24]；
又sin（$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$）=-1時，f（t）取得最大值，
且$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$]，
∴令$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，解得t=14，
即這一天在14時（也是下午2時）出現(xiàn)最高溫度，最高溫度是32°C；
（2）依題意：令24-8sin（$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$）=28，可得
sin（$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵（$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），
∴$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{6}$或$\frac{π}{12}$t+$\frac{π}{3}$=$\frac{11π}{6}$，
解得t=10或t=18，
即中央空調(diào)應(yīng)在上午10時開啟，下午18時（即下午6時）關(guān)閉．

點評 本題考查了三角函數(shù)在實際應(yīng)用中的問題，解題時應(yīng)建立數(shù)學(xué)模型，利用三角函數(shù)解決實際問題，是基礎(chǔ)題目．