Question

設(shè)f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（I）若a＞0，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）x=1時，f（x）有極值，證明：當(dāng)θ∈[0，]時，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Answer 1

解：（I）f^′（x）=e^x（ax²+x+1）+e^x（2ax+1）=e^x[ax²+（2a+1）x+2]=．
（i）當(dāng)時，恒成立，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
（ii）當(dāng)時，則，即．
由f^′（x）＞0，解得；當(dāng)f^′（x）＜0時，解得．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間和（-2，+∞）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．
（iii）當(dāng)時，則，即．
由f^′（x）＞0，解得；由f^′（x）＜0，解得．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-2）和（-，+∞）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．
（II）∵當(dāng)x=1時，f（x）有極值，∴f^′（1）=0．∴，解得a=-1．
∴f（x）=e^x（-x²+x+1），f^′（x）=-e^x（x-1）（x+2）．
令f^′（x）＞0，解得-2＜x＜1，∴f（x）在[-2，1]上單調(diào)遞增，
∵sinθ，cosθ∈[0，1]，∴|f（sinθ）-f（cosθ）|≤f（1）-f（0）=e-1＜2．
分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可得，通過分類討論的大小關(guān)系，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出單調(diào)區(qū)間；
（II）由x=1時，f（x）有極值，得到f^′（1）=0，即可得到a的值，再求出其單調(diào)遞增區(qū)間，即可得出．
點評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、分類討論思想方法等基礎(chǔ)知識與方法，需要較強的推理能力和計算能力．