Question

16．已知函數(shù)$f（x）={x^3}-{x^2}+（{2\sqrt{2}-3}）x+3-2\sqrt{2}$，f（x）與x軸依次交于點(diǎn)A、B、C，點(diǎn)P為f（x）圖象上的動(dòng)點(diǎn)，分別以A、B、C，P為切點(diǎn)作函數(shù)f（x）圖象的切線．
（1）點(diǎn)P處切線斜率最小值為2$\sqrt{2}$-$\frac{10}{3}$
（2）點(diǎn)A、B、C處切線斜率倒數(shù)和為0．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，配方，即可得到所求切線的斜率的最小值；
（2）由題意可設(shè)f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），求出導(dǎo)數(shù)，分別求出點(diǎn)A、B、C處切線斜率，再求倒數(shù)，化簡(jiǎn)即可得到所求和．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）={x^3}-{x^2}+（{2\sqrt{2}-3}）x+3-2\sqrt{2}$，
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2x+2$\sqrt{2}$-3
=3（x-$\frac{1}{3}$）²+2$\sqrt{2}$-$\frac{10}{3}$，
當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí)，切線的斜率取得最小值2$\sqrt{2}$-$\frac{10}{3}$；
（2）可令f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），
f′（x）=（x-x₂）（x-x₃）+（x-x₁）[（x-x₂）+（x-x₃）]，
f′（x₁）=（x₁-x₂）（x₁-x₃），f′（x₂）=（x₂-x₁）（x₂-x₃），
f′（x₃）=（x₃-x₁）（x₃-x₂），
可得點(diǎn)A、B、C處切線斜率倒數(shù)和為$\frac{1}{f′（{x}_{1}）}$+$\frac{1}{f′（{x}_{2}）}$+$\frac{1}{f′（{x}_{3}）}$
=$\frac{1}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（$\frac{1}{{x}_{1}-{x}_{3}}$-$\frac{1}{{x}_{2}-{x}_{3}}$）+$\frac{1}{（{x}_{3}-{x}_{1}）（{x}_{3}-{x}_{2}）}$
=$\frac{1}{{x}_{1}-{x}_{2}}$•$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-{x}_{3}）（{x}_{2}-{x}_{3}）}$+$\frac{1}{（{x}_{3}-{x}_{1}）（{x}_{3}-{x}_{2}）}$
=-$\frac{1}{（{x}_{3}-{x}_{1}）（{x}_{3}-{x}_{2}）}$+$\frac{1}{（{x}_{3}-{x}_{1}）（{x}_{3}-{x}_{2}）}$=0．
故答案為：（1）2$\sqrt{2}$-$\frac{10}{3}$，（2）0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的概念和應(yīng)用：求切線的斜率，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．