Question

15．已知平面內(nèi)三個(gè)單位向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=60°，若$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，則m+n的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 將$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$兩邊平方后整理得（m+n）²-1=mn，再由基本不等式可得x+y的最大值．

解答 解：由已知條件$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，
兩邊平方可得1=m²+mn+n²=（m+n）²-mn，
∴（m+n）²-1=mn，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，判斷出m，n＞0，
∴（m+n）²-1=mn≤$\frac{1}{4}$（m+n）²，
∴$\frac{3}{4}（m+n）^{2}≤1$，則m+n≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即m+n的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是平面向量的基本定理，基本不等式，其中根據(jù)已知分析出（m+n）²-1=mn是解答的關(guān)鍵，屬中檔題．