Question

2．已知△ABC中，BC=2，G為△ABC的重心，且滿足AG⊥BG，則△ABC 的面積的最大值為$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立直角坐標系，設AB=r，點C的坐標為（x，y），可得G（$\frac{x}{3}$，$\frac{y}{3}$）．根據(jù)AG⊥BG建立x、y的關系式，化簡整理得x²+y²=9r²，得到點C在以原點為圓心，半徑為3r的圓上運動（x軸上兩點除外）．可得當C點在y軸時y的值達到最大值，此時三角形面積最大，由此結合三角形面積公式即可得解．

解答 解：設AB中點為O，連接AO，可得重心G在CO上且$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$，
以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立如圖所示直角坐標系，
設AB=2r（r＞0），則A（-r，0），B（r，0），
設C（x，y），可得G（$\frac{x}{3}$，$\frac{y}{3}$）
∵AG⊥BG，
∴點G在以AB為直徑的圓上運動（A、B兩點除外）
由此可得（$\frac{x}{3}$）²+（$\frac{y}{3}$）²=r²，整理得x²+y²=9r²，
因此，點C在以原點為圓心，半徑為3r的圓上運動（x軸上兩點除外），
可得，當x=0時，y取得最大值3r，
∴此時，tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{3}$，AC=BC=2，
∵r²+（3r）²=2，解得：r=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴此時，S_△ABC=$\frac{1}{2}×2r×3r$=$\frac{6}{5}$．
故答案為：$\frac{6}{5}$．

點評 本題給出三角形的重心G對A、B的張角為直角，求三角形面積的最大值，著重考查了三角形重心的性質、圓的標準方程和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．