Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+4lnx，若存在滿足1≤x₀≤3的實(shí)數(shù)x₀，使得曲線f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線與直線x+my-10=0垂直，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A、[5，+∞）
• B、[4，5]
• C、[4，

  13

  3

  ]
• D、（-∞，4]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，再由兩直線垂直斜率之積為-1，得到x₀+

4

x0

=m，再由基本不等式求出左邊的最小值，代入端點(diǎn)1和3，比較得到最大值．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

1

2

x²+4lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x+

4

x

（x＞0）．
曲線f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線斜率為x₀+

4

x0

，
由于切線垂直于直線x+my-10=0，則有x₀+

4

x0

=m，
由于1≤x₀≤3，則由x₀+

4

x0

≥2

x0• 4 x0

=4，當(dāng)且僅當(dāng)x₀=2∈[1，3]，取得最小值4；
當(dāng)x₀=1時(shí)，取得最大值5．
故m的取值范圍是[4，5]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率，考查兩直線垂直的條件和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．