Question

如圖，經(jīng)過(guò)村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M、N （異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米）．如何設(shè)計(jì)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最�。�即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn)）．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：綜合題,解三角形

分析：設(shè)∠AMN=θ，在△AMN中，求出AM，在△APM中，利用余弦定理，建立函數(shù)，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)∠AMN=θ，在△AMN中，

MN

sin60°

=

AM

sin(120°-θ)

．
因?yàn)镸N=2，所以AM=

4 3

3

sin（120°-θ）．               …2分
在△APM中，cos∠AMP=cos（60°+θ）．                 …6分
AP²=AM²+MP²-2AM•MP•cos∠AMP
=

16

3

sin²（120°-θ）+4-2×2×

4 3

3

 sin（120°-θ） cos（60°+θ）         …8分
=

16

3

sin²（θ+60°）-

16 3

3

 sin（θ+60°） cos（θ+60°）+4
=

8

3

[1-cos （2θ+120°）]-

8 3

3

 sin（2θ+120°）+4
=-

8

3

[

3

sin（2θ+120°）+cos （2θ+120°）]+

20

3

=

20

3

-

16

3

sin（2θ+150°），θ∈（0，120°）．                 …12分
當(dāng)且僅當(dāng)2θ+150°=270°，即θ=60°時(shí)，AP²取得最大值12，即AP取得最大值2

3

．
答：設(shè)計(jì)∠AMN為60°時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小．…14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，正確構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵．