Question

3．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$，t為參數(shù)，0≤α＜π；射線θ=φ，θ=φ+$\frac{π}{4}$，θ=φ-$\frac{π}{4}$，θ=φ+$\frac{π}{2}$與曲線C₁分別交異于極點(diǎn)O的四點(diǎn)A，B，C，D．
（1）若曲線C₁關(guān)于曲線C₂對(duì)稱，求α的值，并把曲線C₁和C₂化成直角坐標(biāo)方程；
（2）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把曲線C₁的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，由于曲線C₁關(guān)于曲線C₂對(duì)稱，可得圓心在C₂上，即可解出．
（2）由已知可得|OA|=2$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{π}{4}$），|OB|=2$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{π}{2}$），|OC|=2$\sqrt{2}$sinφ，|OD|=2$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{3π}{4}$），化簡(jiǎn)整理即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開為${ρ}^{2}=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2x+2y，化為（x-1）²+（y-1）²=2，
∵曲線C₁關(guān)于曲線C₂對(duì)稱，∴圓心（1，1）在C₂上，∴$\left\{\begin{array}{l}{1=-1+tcosα}\\{1=3+tsinα}\end{array}\right.$，化為tanα=-1，解得α=$\frac{3π}{4}$．
∴C₂：為y-3=-1（x+1），化為x+y-2=0．
（2）|OA|=2$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{π}{4}$），|OB|=2$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{π}{2}$），|OC|=2$\sqrt{2}$sinφ，|OD|=2$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{3π}{4}$），
∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sinφsin（φ+$\frac{π}{4}$）+8cosφsin（φ+$\frac{3π}{4}$）=8sinφsin（φ+$\frac{π}{4}$）+8cosφcos（φ+$\frac{π}{4}$）=8cos$\frac{π}{4}$=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法、三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值、直線的參數(shù)方程應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．