Question

18．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（2）=1，且對于任意的x∈R，都有$f'（x）＜\frac{1}{10}$，則不等式$f（{x^2}）＞\frac{{{x^2}+8}}{10}$的解集為（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由題意構造F（x）=f（x）-$\frac{1}{10}$x，可得F（x）在R上遞減，原不等式即為F（x²）＞F（2），運用單調性和二次不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：對于任意的x∈R，都有$f'（x）＜\frac{1}{10}$，
可設F（x）=f（x）-$\frac{1}{10}$x，
由F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{10}$＜0，
可得F（x）在R上遞減，
不等式$f（{x^2}）＞\frac{{{x^2}+8}}{10}$即為
f（x²）-$\frac{{x}^{2}}{10}$＞$\frac{4}{5}$，
由f（2）=1，可得f（2）-$\frac{2}{10}$=$\frac{4}{5}$，
即有F（x²）＞F（2），
由F（x）在R上遞減，
可得x²＜2，解得-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$．
故答案為：（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調性，考查函數(shù)的單調性的運用：解不等式，同時考查構造函數(shù)，判斷單調性，屬于中檔題．