Question

已知圓A：（x+1）²+y²=8，點B（1，0），D為圓上一動點，過BD上一點E作一條直線交AD于點S，且S點滿足，，
（1）求點S的軌跡方程；
（2）若直線l的方程為：x=2，過B的直線與點S的軌跡相交于F、G兩點，點P在l上，且PG∥x軸，求證：直線FP經(jīng)過一定點，并求此定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知E為BD的中點，，SD=SB，所以，由此能夠推導(dǎo)出S的軌跡方程．
（2）當FG⊥x軸時，由，，知，直線AP過定；當FG與x軸不垂直時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P（2，y₂），設(shè)直線FG方程為y=k（x-1）．然后分k=0和k≠0兩種情況分別討論．
解答：解：（1）∵
∴E為BD的中點（1分）
∵
∴（2分）
∴SD=SB，
∴
∴S的軌跡是以A、B為焦點的橢圓（4分）
這里：∴b²=a²-c²=1
∴S的軌跡方程為：（5分）
（2）①當FG⊥x軸時，，∴
∴直線AP：
∴AP過定點（7分）
②當FG與x軸不垂直時
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P（2，y₂），設(shè)直線FG方程為y=k（x-1）
當k=0時直線FG顯然過（8分）
當k≠0時，，（9分）
∴==（11分）
由得（1+2k²）y²+2ky-k²=0
∴，（12分）
∴（13分）
∴∥
∴此時直線FG也過
∴直線FG必過定點．（14分）
點評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論方法的合理運用．