Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為2

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點（2，0）的直線l的與橢圓C交于A、B兩點，O為坐標原點，當∠AOB為銳角時，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由離心率為

2

2

及a²=b²+c²可得a，b關系，由菱形面積得

1

2

×2a×2b=2

2

，聯(lián)立方程組即可求得a，b；
（2）設l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AOB為銳角，得

OA

•

OB

＞0，即x₁x₂+y₁y₂=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]＞0，聯(lián)立直線方程與橢圓方程消去y得x的二次方程，則△＞0，由韋達定理可把上式變?yōu)閗的不等式，聯(lián)立可得關于k的不等式組，解出即可；

解答：解：（1）由e=

c

a

=

2

2

得a²=2c²=2b²，
依題意

1

2

×2a×2b=2

2

，即ab=

2

，解方程組

a2=2b2 ab= 2

得a=

2

，b=1，
所以橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，得k2＜

1

2

，且x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，
于是y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=

2k2

1+2k2

．
∵∠AOB為銳角，∴

OA

•

OB

＞0，
∴x1x2+y1y2=

8k2-2

1+2k2

+

2k2

1+2k2

=

10k2-2

1+2k2

＞0，解得k2＞

1

5

，
又k2＜

1

2

，∴

1

5

＜k2＜

1

2

，解得-

2

2

＜k＜-

5

5

或

5

5

＜k＜

2

2

，
所以直線l的斜率k的取值范圍是（-

2

2

，-

5

5

）∪（

5

5

，

2

2

）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，判別式、韋達定理、弦長公式是解決該類題目的基礎，解決該類問題常運用方程思想．