Question

給出兩條直線l₁和l₂，斜率存在且不為0，如果滿(mǎn)足斜率互為相反數(shù)，且在y軸上的截距相等，那么直線l₁和l₂叫做“孿生直線”.

(1)現(xiàn)在給出4條直線的參數(shù)方程如下:

l₁:(t為參數(shù));

l₂: (t為參數(shù));

l₃:(t為參數(shù));

l₄:(t為參數(shù)).

其中構(gòu)成“孿生直線”的是____________.

(2)給出由參數(shù)方程表示的直線l₁:(t為參數(shù)),

直線l₂: (t為參數(shù)),

那么，根據(jù)定義，直線l₁,直線l₂構(gòu)成“孿生直線”的條件是__________________.

Answer 1

解析:根據(jù)條件,兩條直線構(gòu)成“孿生直線”意味著它的斜率存在不為0,互為相反數(shù),且在y軸的截距相等,也就是在y軸上交于同一點(diǎn).

對(duì)于題(1),首先可以判斷出其斜率分別為-1,1,-1,1,斜率互為相反數(shù)條件很明顯,再判斷在y軸上的截距.

    令x=0得出相應(yīng)的t值,代入y可得只有直線l₁和直線l₄在y軸上的截距相等,而其斜率又恰好相反,可以構(gòu)成“孿生直線”.

    對(duì)于題(2)首先寫(xiě)出相應(yīng)斜率分別是tanα₁和tanα₂,

    因此要tanα₁=-tanα₂,即tanα₁+tanα₂=0；

    然后再考慮在y軸上的截距,首先在l₁的參數(shù)方程中,令x=x₁+tcosα₁=0,

    可得t=代入得y=y₁-x₁tanα₁.

    同理,可得直線l₂在y軸上的截距是y=y₂-x₂tanα₂.

    由定義中的條件“截距相等”可得y₁-x₁tanα₁=y₂-x₂tanα₂,

    即y₁-y₂=x₁tanα₁-x₂tanα₂.

    如果把tanα₁=-tanα₂代入式子還可以進(jìn)一步得到y(tǒng)₁-y₂=x₁tanα₁+x₂tanα₁,即y₁-y₂=(x₁+x₂)tanα₁.

答案:（1）直線l₁和直線l₄

（2）tanα₁+tanα₂=0且y₁-y₂=x₁tanα₁+x₂tanα₂〔也可以寫(xiě)成y₁-y₂=(x₁+x₂)tanα₁〕.