Question

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點(diǎn)在AM上，D點(diǎn)在AN上，且對角線MN過C點(diǎn)，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使花壇AMPN的面積大于32平方米，求AN長的取值范圍；
（Ⅱ）若AN∈[3，4）（單位：米），則當(dāng)AM，AN的長度分別是多少時，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出矩形的長與寬，求得矩形的面積，利用矩形AMPN的面積大于32平方米，即可求得AN的取值范圍；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)y=

3x2

x-2

在[3，4）上為單調(diào)遞減函數(shù)，即可求得面積的最大值．

解答： 解：設(shè)AN的長為x米（x＞2）
由于

DN

AN

=

DC

AM

，則AM=

3x

x-2

  
故S_AMPN=AN•AM=

3x2

x-2

 …（3分）
（Ⅰ）由花壇AMPN的面積大于32平方米，得

3x2

x-2

＞32，∴2＜x＜

8

3

或x＞8，即AN長的取值范圍是（2，

8

3

）∪（8，+∞）．…（6分）

（Ⅱ）令y=

3x2

x-2

，則y′=

3x(3-4)

(x-2)2

因?yàn)楫?dāng)x∈[3，4）時，y′＜0，所以函數(shù)y=

3x2

x-2

在[3，4）上為單調(diào)遞減函數(shù)，…（9分）
從而當(dāng)x=3時y=

3x2

x-2

取得最大值，即花壇AMPN的面積最大27平方米，此時AN=3米，AM=9米   …（12分）

點(diǎn)評：本題考查根據(jù)題設(shè)關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，解題的關(guān)鍵是確定矩形的面積．