Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1(x∈R)；
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用賦值角公式將其化簡(jiǎn)成y=Asin（ωx+φ）的形式，從而可求出函數(shù)f（x）的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)x∈[0，

π

2

]，求出2x+

π

6

的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1，得f(x)=

3

(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
（1）T=

2π

2

=π，所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤

π

6

+kπ
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，

π

6

+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]則sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為2，此時(shí)x=

π

6

，最小值為-1，此時(shí)x=

π

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，以及三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．