Question

5．若異面直線a，b所成角為60°，AB是公垂線，E，F(xiàn)分別是異面直線a，b上到A，B距離為2，1的兩點，當|EF|=3時，線段AB的長為$\sqrt{2}$或$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$，兩邊平方即可解得線段AB的長．

解答 解：如圖，由$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$，得
由$\overrightarrow{EF}$²=$\overrightarrow{EA}$²+$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{BF}$²+2|$\overrightarrow{EA}$||$\overrightarrow{BF}$|cosθ
①當θ=60°時，有9=4+$\overrightarrow{AB}$²+1+2•2•$\frac{1}{2}$，得|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{2}$；
②當θ=120°時，有9=4+$\overrightarrow{AB}$²+1-2•2•$\frac{1}{2}$，得|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{6}$．
∴線段AB的長為$\sqrt{2}$或$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{2}$或$\sqrt{6}$．

點評 本題考慮到若用前兩種方法都難以奏效，于是選用了“回路法”，更方便了“異面直線a，b所成的角為60°”的討論與運用，使得解題快捷無比．