若函數(shù)f(x)=
3x+1，(x≥0)
x+2，(x＜0)
滿足不等式f（1+x2）＞f（ax）對任意的x恒成立，則a的取值范圍是
-2＜a＜2
-2＜a＜2
．
分析：根據(jù)分段函數(shù)的圖象可以判斷出函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，利用f（x）的單調(diào)性，將“f”去掉，從而得到關(guān)于x的不等式恒成立，求解即可得到a的取值范圍．
解答：解：∵f(x)=
3x+1，(x≥0)
x+2，(x＜0)
，
畫出函數(shù)圖象如右圖所示，根據(jù)函數(shù)圖象可以得到，函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∵（1+x2）＞f（ax）對任意的x恒成立，
∴1+x2＞ax對任意的x恒成立，即x2-ax+1＞0對任意的x恒成立，
∴△=（-a）2-4＜0，解得，-2＜a＜2，
∴a的取值范圍是-2＜a＜2．
故答案為：-2＜a＜2．
點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，以及利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式．對于分段函數(shù)的問題，一般選用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法或運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f(x)=
3x+5x≤1
-x+9x＞1
，則f（x）的最大值為（　�。�
A、9B、8C、7D、6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，則稱以（x0，y0）為坐標(biāo)的點(diǎn)是函數(shù)f（x）的圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”．
（1）若函數(shù)f(x)=
3x-1x+a
的圖象上有且只有兩個(gè)相異的“穩(wěn)定點(diǎn)”，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f（x）存在有限個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”，求證：f（x）必有奇數(shù)個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，則稱以（x0，x0）為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f（x）圖象上的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）若函數(shù)f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）到直線y=x的距離d=
|x-y|
2
．在（1）的條件下，若a=8，記函數(shù)f（x）圖象上的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)分別為A1，A2，P為函數(shù)f（x）圖象上的另一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)yP＞3，求點(diǎn)P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一反例．若地方不夠，可答在試卷的反面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•虹口區(qū)一模）若函數(shù)f(x)=
3x+a3x+1
是奇函數(shù)，則常數(shù)a=
-1
-1
．

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