Question

若函數(shù)f(x)=

3x+1，(x≥0) x+2，(x＜0)

滿足不等式f（1+x²）＞f（ax）對任意的x恒成立，則a的取值范圍是

-2＜a＜2

．

Answer 1

分析：根據(jù)分段函數(shù)的圖象可以判斷出函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，利用f（x）的單調(diào)性，將“f”去掉，從而得到關(guān)于x的不等式恒成立，求解即可得到a的取值范圍．

解答：解：∵f(x)=

3x+1，(x≥0) x+2，(x＜0)

，
畫出函數(shù)圖象如右圖所示，根據(jù)函數(shù)圖象可以得到，函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∵（1+x²）＞f（ax）對任意的x恒成立，
∴1+x²＞ax對任意的x恒成立，即x²-ax+1＞0對任意的x恒成立，
∴△=（-a）²-4＜0，解得，-2＜a＜2，
∴a的取值范圍是-2＜a＜2．
故答案為：-2＜a＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，以及利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式．對于分段函數(shù)的問題，一般選用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法或運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．