Question

記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，則稱以（x₀，y₀）為坐標(biāo)的點(diǎn)是函數(shù)f（x）的圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”．
（1）若函數(shù)f(x)=

3x-1

x+a

的圖象上有且只有兩個(gè)相異的“穩(wěn)定點(diǎn)”，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f（x）存在有限個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”，求證：f（x）必有奇數(shù)個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是函數(shù)f(x)=

3x-1

x+a

的圖象上的兩個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”，由定義可得

3x1-1 x1+a =x1 3x2-1 x2+a =x2

，所以x₁，x₂是方程x²+（a-3）x+1=0（x≠-a）的兩相異實(shí)根且不等于-a，由此可得關(guān)于a的不等式組，解出即可；
（2）由f（x）為R上的奇函數(shù)可判斷原點(diǎn)（0，0）是函數(shù)f（x）的“穩(wěn)定點(diǎn)”，只要再說明除原點(diǎn)外“穩(wěn)定點(diǎn)”成對(duì)出現(xiàn)即可；

解答：解：（1）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是函數(shù)f(x)=

3x-1

x+a

的圖象上的兩個(gè)“穩(wěn)定點(diǎn)”，
則

3x1-1 x1+a =x1 3x2-1 x2+a =x2

，即有x12+(a-3)x1+1=0(x1≠-a)，x22+(a-3)x2+1=0(x2≠-a)，
∴x₁，x₂是方程x²+（a-3）x+1=0（x≠-a）的兩根，
∴方程x²+（a-3）x+1=0有兩個(gè)相異的實(shí)根且不等于-a，
∴

△=(a-3)2-4×1＞0 (-a)2+(a-3)(-a)+1≠0

，解得a＞5或a＜1且a≠-

1

3

，
∴a的取值范圍是（-∞，-

1

3

）∪（-

1

3

，1）∪（5，+∞；
（2）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，∴原點(diǎn)（0，0）是函數(shù)f（x）的“穩(wěn)定點(diǎn)”，
若f（x）還有“穩(wěn)定點(diǎn)”（x₀，y₀），
則由f（x）為奇函數(shù)，得f（-x₀）=-f（x₀）且f（x₀）=x₀，
∴f（-x₀）=-x₀，
這說明：（-x₀，-x₀）也是f（x）的“穩(wěn)定點(diǎn)”．                     
綜上所述可知，f（x）圖象上的“穩(wěn)定點(diǎn)”除原點(diǎn)外是成對(duì)出現(xiàn)的，而且原點(diǎn)也是其“穩(wěn)定點(diǎn)”，
所以它的“穩(wěn)定點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為切入點(diǎn)，主要考查了二次方程的根的個(gè)數(shù)問題、奇函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決新問題的能力．