Question

18．命題“?x＜0，使得方程2^x+a=$\frac{1}{x-1}$有解”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，0）．

Answer 1

分析 當(dāng) x∈（-∞，0）時(shí)，函數(shù)y=2^x與y=$\frac{1}{x-1}$分別是單調(diào)遞增與單調(diào)遞減函數(shù)，可得函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{x-1}$單調(diào)性，求其在x＜0時(shí)的范圍，進(jìn)而得出a的取值范圍．

解答 解：當(dāng) x∈（-∞，0）時(shí)，函數(shù)y=2^x與y=$\frac{1}{x-1}$分別是單調(diào)遞增與單調(diào)遞減函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{x-1}$單調(diào)遞增．
∴f（x）＜f（0）=2⁰+1=2．
又當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→0，
∴0＜f（x）＜2．
∵?x＜0，使得方程2^x+a=$\frac{1}{x-1}$有解，
∴-a∈（0，2），即a∈（-2，0）．
故答案為：（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和存在性問(wèn)題的解法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．