Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點．（1）求證：平面PAB∥平面EFG；
（2）求直線EG與平面PAD所成角的余弦值；
（3）求平面EFG與平面ABCD所成的角．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)已知條件可得到EF∥AB，EG∥PB，所以EF∥平面PAB，EG∥平面PAB，所以平面PAB∥平面EFG；
（2）EG∥PB，所以EG與平面PAD所成角等于PB與平面PAD所成角，容易說明AB⊥平面PAD，所以∠APB是直線PB與平面PAD所成角，根據(jù)已知條件可求得PA，PB，所以該角的余弦值能夠求出；
（3）根據(jù)（1）平面EFG∥平面PAB，所以平面EFG與平面ABCD所成的角等于平面PAB和平面ABCD所成角，并且容易找到平面PAB和平面ABCD所成角的平面角∠PAD，并且該角的值為45°．

解答： 解：（1）如圖，由已知條件知：EF∥AB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB，同理，EG∥平面PAB，EF∩EG=E；
∴平面EFG∥平面PAB，即平面PAB∥平面EFG；
（2）∵EG∥PB，∴EF與平面PAD所成角等于PB與平面PAD所成角；
∵PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PD⊥AB，即AB⊥PD，又AB⊥AD；
∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是直線PB和平面PAD所成角；
∴在Rt△PAB中，AB=2，PA=2

2

，PB=

12

=2

3

；
∴cos∠APB=

PA

PB

=

2 2

2 3

=

6

3

；
∴直線EG與平面PAD所成角的余弦值為

6

3

；
（3）由（1）知平面EFG∥平面PAB，∴平面EFG與平面ABCD所成的角等于平面PAB與平面ABCD所成角；
由（2）知PA⊥AB，AD⊥AB；
∴∠PAD是平面PAB和平面ABCD所成二面角的平面角；
由已知條件知，PD=AD，PD⊥AD，∴∠PAD=45°；
∴平面EFG與平面ABCD所成的角為45°．

點評：考查中位線的性質，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，線面角的定義，以及二面角、二面角的平面角的概念．