Question

13．如圖，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，取BC的中點M，連接EM、FM，則FM∥BD，分析可得則∠EFM（或其補角）就是異面直線EF與BD所成的角；進而可得EM、EF的值，在△MFE中，有余弦定理可得cos∠EFM的值，即可得答案．

解答 解：如圖：取BC的中點M，連接EM、FM，則FM∥BD，
則∠EFM（或其補角）就是異面直線EF與BD所成的角；
∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，
∴EM=$\sqrt{E{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{E{A}^{2}+A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
同理EF=$\sqrt{6}$；
在△MFE中，cos∠EFM=$\frac{E{F}^{2}+F{M}^{2}-E{M}^{2}}{2EF•FM}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
即異面直線EF與BD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查學生的空間想象能力，關鍵是找到異面直線所成角，屬于基礎題