已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下三條：
①對(duì)任意的x∈[0，1]，總有f(x)≥0；
②f(1)=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立．
解答下列問題：
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)函數(shù)g(x)=2x-1在[0，1]上是否同時(shí)滿足①②③？
(Ⅲ)假定存在x0∈[0，1]，使得f(x0)∈[0，1]且f[f(x0)]=x0，求證：f(x0)=x0。
解：(Ⅰ)令x1=x2=0，f(0)≥f(0)+f(0)，f(0)≤0，
又x∈[0，1]時(shí)，f(0)≥0，
∴f(0)=0．
(Ⅱ)當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，2x∈[1，2]，
∴2x-1∈[0，1]，
∴滿足條件①；
又g(1)=21-1=1，
∴滿足條件②；
設(shè)x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，則，
，
，
∵x1≥0，x2≥0，
∴，
∴g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2)，
∴滿足條件③，
∴同時(shí)滿足①②③．
(Ⅲ)任給m，n∈[0，1]，若m＜n，f(m)≤f(n)，
假設(shè)若x0＜f(x0)，則f(x0)≤f[f(x0)]=x0矛盾；
同理若x0＞f(x0)，則f(x0)≥f[f(x0)]=x0矛盾；
∴假設(shè)不成立，
∴f(x0)=x0。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：
①對(duì)于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若對(duì)于任意x∈[0，1]，總有4f2（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：
①對(duì)任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0； 
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，并且稱f（x）為“友誼函數(shù)”，
請(qǐng)解答下列各題：
（1）若已知f（x）為“友誼函數(shù)”，求f（0）的值；
（2）函數(shù)g（x）=2x-1在區(qū)間[0，1]上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由．
（3）已知f（x）為“友誼函數(shù)”，且 0≤x1＜x2≤1，求證：f（x1）≤f（x2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：
①對(duì)于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，則有f （x1+x2）≥f （x1）+f （x2）．
（1）試求f（0）的值；
（2）試求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）試證明：當(dāng)x∈(
1
2n
，
1
2n-1
]，n∈N+時(shí)，f（x）＜2x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①對(duì)任意x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函數(shù)g（x）=2x-1在區(qū)間[0，1]上是否同時(shí)適合①②③？并予以證明；
（3）假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求證：f（x0）=x0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f （x）同時(shí)滿足：
①對(duì)于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）試求f（0）的值；
（2）試求函數(shù)f （x）的最大值；
（3）試證明：當(dāng)x∈(
1
4
，
1
2
]時(shí)，f（x）＜2x．

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