Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n＞0，若a₁=6，a₂=-2，對于n∈N^*，有S_2n-1²=S_2nS_2n+2，2S_2n+2=S_2n-1+S_2n+1
，則$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{5}}$+…+$\frac{1}{{S}_{2017}}$=$\frac{1009}{2022}$．

Answer 1

分析 由題意有S_2n-1²=S_2nS_2n+2，2S_2n+2=S_2n-1+S_2n+1，可得$2\sqrt{{S}_{2n+2}}$=$\sqrt{{S}_{2n}}$+$\sqrt{{S}_{2n+4}}$，利用等差數(shù)列通項公式可得$\sqrt{{S}_{2n}}$，可得S_2n-1=$\sqrt{{S}_{2n}{S}_{2n+2}}$，再利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：由題意有S_2n-1²=S_2nS_2n+2，2S_2n+2=S_2n-1+S_2n+1，
∴2S_2n+2=$\sqrt{{S}_{2n}{S}_{2{n}_{+2}}}$+$\sqrt{{S}_{2n+2}{S}_{2n+4}}$，∴$2\sqrt{{S}_{2n+2}}$=$\sqrt{{S}_{2n}}$+$\sqrt{{S}_{2n+4}}$，
∴數(shù)列$\{\sqrt{{S}_{2n}}\}$為等差數(shù)列，首項為2，公差為1的等差數(shù)列，
∴$\sqrt{{S}_{2n}}$=2+（n-1）=n+1，可得S_2n=（1+n）²．∴S_2n-1=$\sqrt{{S}_{2n}{S}_{2n+2}}$=（n+1）（n+2）．
∴$\frac{1}{{S}_{2n-1}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
則$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{5}}$+…+$\frac{1}{{S}_{2017}}$=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{1010}-\frac{1}{1011}）$=$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{1011}$=$\frac{1009}{2022}$．
故答案為：$\frac{1009}{2022}$．

點評 本題考查了“裂項求和”方法、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．