Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）-4cos²ωx+3（0＜ω＜2），且y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸為x=$\frac{π}{6}$．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的最小值并求此時(shí)x的解集．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用二倍角余弦公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)f（x），再由正弦函數(shù)的對(duì)稱軸方程和最值，求得ω的值；
（2）當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，f（x）=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）-4cos²ωx+3（0＜ω＜2）
=2$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx）-2（1+cos2ωx）+3
=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx+1=1+2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
由y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸為x=$\frac{π}{6}$，
可得2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即ω=3k+1，k∈Z，
由0＜ω＜2，可得ω=1；
（2）當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
f（x）=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值1-2=-1，此時(shí)x的解集為{x|x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．