Question

等差數(shù)列{a}是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，S5=a32．
（1）求通項(xiàng)a_n；
（2）令b_n=

1

2

(

an+1

an

+

an

an+1

)，設(shè)T_n=b₁+b₂+…+b_n-n，若M＞T_n＞m對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)M、m的取值范圍；
（3）試構(gòu)造一個(gè)函數(shù)g（x），使f(n)=a1g(1)+a2g(2)+…+ang(n)＜

1

3

(n∈N+)恒成立，且對(duì)任意的m∈(

1

4

，

1

3

)，均存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，f（n）＞m．

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，利用a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，可得d=2a₁，利用等差數(shù)列的求和公式及S5=a32，即可確定數(shù)列的首項(xiàng)與公差，從而可得通項(xiàng)a_n；
（2）b_n=

1

2

(

an+1

an

+

an

an+1

)=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，確定T_n的范圍，根據(jù)M＞T_n＞m對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，即可求得實(shí)數(shù)M、m的取值范圍；
（3）取g（x）=

1

3(2x-1)x(x-1)

，則ang(n)=

1

3

(

1

n

-

1

n+1

)，再驗(yàn)證滿足題意即可．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d
∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，∴a22=a1×a5
∴(a1+d)2=a1×(a1+4d)
∵d＞0，∴d=2a₁，①
∵S5=a32
∴5a₁+10d=(a1+2d)2②
由①②可得a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1
（2）b_n=

1

2

(

an+1

an

+

an

an+1

)=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n-n=1-

1

2n+1

∈[

2

3

，1）
∵M(jìn)＞T_n＞m對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，
∴n∈（-∞，

2

3

），M∈[1，+∞）；
（3）取g（x）=

1

3(2x-1)x(x-1)

，則ang(n)=

1

3

(

1

n

-

1

n+1

)
∴f(n)=a1g(1)+a2g(2)+…+ang(n)=

1

3

(1-

1

n+1

)＜

1

3

(n∈N+)，
又f（n）可無(wú)限接近

1

3

，且對(duì)任意的m∈(

1

4

，

1

3

)，均存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，f（n）＞m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，考查參數(shù)范圍的確定，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)．